Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} e^{- 7 x} d x$

Étape 1

Laissez $u = - 7 x$ . Alors $d u = - 7 d x$ , donc $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = - 7 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $- 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.1.2

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 7 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$- 7$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - 7 x$ .

$u_{lower} = - 7 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - 7 x$ .

$u_{upper} = - 7 \cdot 3$

Étape 1.5

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$u_{upper} = - 21$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 21$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{- 21} e^{u} \frac{1}{- 7} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{0}^{- 21} e^{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Étape 2.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{7}$ .

$\int_{0}^{- 21} - \frac{e^{u}}{7} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{0}^{- 21} \frac{e^{u}}{7} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{7} \int_{0}^{- 21} e^{u} d u)$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{7} e^{u}]_{0}^{- 21}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- 21$ et sur $0$ .

$- \frac{1}{7} ((e^{- 21}) - e^{0})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{1}{7} (e^{- 21} - 1 \cdot 1)$

Étape 6.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{7} (e^{- 21} - 1)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{7} e^{- 21} - \frac{1}{7} \cdot - 1$

Étape 7.2

Associez $e^{- 21}$ et $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{e^{- 21}}{7} - \frac{1}{7} \cdot - 1$

Étape 7.3

Multipliez $- \frac{1}{7} \cdot - 1$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{e^{- 21}}{7} + 1 (\frac{1}{7})$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $1$ .

$- \frac{e^{- 21}}{7} + \frac{1}{7}$

Étape 7.4

Placez $e^{- 21}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{7 e^{21}} + \frac{1}{7}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{7 e^{21}} + \frac{1}{7}$

Forme décimale :

$0.14285714 \dots$

Étape 9