Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} 3 x - x^{2} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{3} 3 x d x + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{2} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $0$ .

$3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $0$ .

$3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$3 (\frac{9}{2} - 0) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$3 (\frac{9}{2} + 0) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.5

Additionnez $\frac{9}{2}$ et $0$ .

$3 (\frac{9}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.6

Associez $3$ et $\frac{9}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.8

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.9

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.9.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{27}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{27}{2} - (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.9.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{0}{3})$

Étape 7.2.3.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 7.2.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 7.2.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 7.2.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{0}{1})$

Étape 7.2.3.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{27}{2} - (9 - 0)$

Étape 7.2.3.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{27}{2} - (9 + 0)$

Étape 7.2.3.13

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{27}{2} - 1 \cdot 9$

Étape 7.2.3.14

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{27}{2} - 9$

Étape 7.2.3.15

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.2.3.16

Associez $- 9$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{27 - 9 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.3.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.18.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{27 - 18}{2}$

Étape 7.2.3.18.2

Soustrayez $18$ de $27$ .

$\frac{9}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{9}{2}$

Forme décimale :

$4.5$

Forme de nombre mixte :

$4 \frac{1}{2}$

Étape 9