Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} x \sqrt{x + 1} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sqrt{x + 1}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 3

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Étape 4.5

Additionnez $3$ et $1$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Évaluez $\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ sur $3$ et sur $0$ .

$(\frac{3 (2 {(3 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Étape 6.2

Évaluez $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ sur $4$ et sur $1$ .

$(\frac{3 (2 {(3 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{3 (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (2 \cdot 2^{3})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{3 (2 \cdot 8)}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.6

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.7

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{48}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8

Annulez le facteur commun à $48$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.8.1

Factorisez $3$ à partir de $48$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3 (1)} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 1} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{16}{1} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8.2.4

Divisez $16$ par $1$ .

$16 - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.9

Additionnez $0$ et $1$ .

$16 - \frac{0 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$16 - \frac{0 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$16 - \frac{0 \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.12

Multipliez $0$ par $2$ .

$16 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.13

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.13.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$16 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.13.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$16 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$16 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$16 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.13.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$16 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.14

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$16 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.15

Additionnez $16$ et $0$ .

$16 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.16

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.17

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.18

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.18.1

Annulez le facteur commun.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.18.2

Réécrivez l’expression.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.19

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.20

Associez $\frac{2}{5}$ et $32$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.21

Multipliez $2$ par $32$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.22

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1)$

Étape 6.3.23

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

Étape 6.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$16 - \frac{2}{3} \cdot \frac{64 - 2}{5}$

Étape 6.3.25

Soustrayez $2$ de $64$ .

$16 - \frac{2}{3} \cdot \frac{62}{5}$

Étape 6.3.26

Multipliez $\frac{62}{5}$ par $\frac{2}{3}$ .

$16 - \frac{62 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Étape 6.3.27

Multipliez $62$ par $2$ .

$16 - \frac{124}{5 \cdot 3}$

Étape 6.3.28

Multipliez $5$ par $3$ .

$16 - \frac{124}{15}$

Étape 6.3.29

Pour écrire $16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$16 \cdot \frac{15}{15} - \frac{124}{15}$

Étape 6.3.30

Associez $16$ et $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16 \cdot 15}{15} - \frac{124}{15}$

Étape 6.3.31

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16 \cdot 15 - 124}{15}$

Étape 6.3.32

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.32.1

Multipliez $16$ par $15$ .

$\frac{240 - 124}{15}$

Étape 6.3.32.2

Soustrayez $124$ de $240$ .

$\frac{116}{15}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{116}{15}$

Forme décimale :

$7.7\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$7 \frac{11}{15}$

Étape 8