Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{5} 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{0}^{5} \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 \int_{0}^{5} x^{\frac{2}{3}} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{0}^{5})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{3}{5}$ et $x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{0}^{5})$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ sur $5$ et sur $0$ .

$4 ((\frac{3 \cdot 5^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Placez $5^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{5}{3}} \cdot 5^{- 1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $5^{\frac{5}{3}}$ par $5^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.2.1

Déplacez $5^{- 1}$ .

$4 (3 \cdot (5^{- 1} \cdot 5^{\frac{5}{3}}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (3 \cdot 5^{- 1 + \frac{5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 (3 \cdot 5^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 3 + 5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{- 3 + 5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2.2.6.2

Additionnez $- 3$ et $5$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Étape 4.2.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Étape 4.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{5}}{5})$

Étape 4.2.2.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0}{5})$

Étape 4.2.2.7

Multipliez $3$ par $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{0}{5})$

Étape 4.2.2.8

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 4.2.2.8.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{5 (0)}{5})$

Étape 4.2.2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Étape 4.2.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Étape 4.2.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{0}{1})$

Étape 4.2.2.8.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - 0)$

Étape 4.2.2.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} + 0)$

Étape 4.2.2.10

Additionnez $3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}$ et $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.2.2.11

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 \cdot 5^{\frac{2}{3}}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$12 \cdot 5^{\frac{2}{3}}$

Forme décimale :

$35.08821285 \dots$

Étape 6