Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{4.192} 120 \sin (2 t) d t$

Étape 1

Comme $120$ est constant par rapport à $t$ , placez $120$ en dehors de l’intégrale.

$120 \int_{0}^{4.192} \sin (2 t) d t$

Étape 2

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4.192$

Étape 2.5

Multipliez $2$ par $4.192$ .

$u_{upper} = 8.384$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8.384$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$120 \int_{0}^{8.384} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$120 \int_{0}^{8.384} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$120 (\frac{1}{2} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $120$ .

$\frac{120}{2} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $120$ et $2$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $120$ .

$\frac{2 \cdot 60}{2} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 60}{2 (1)} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 60}{2 \cdot 1} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{60}{1} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Étape 5.2.2.4

Divisez $60$ par $1$ .

$60 \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Étape 6

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$60 (- \cos (u)]_{0}^{8.384})$

Étape 7

Évaluez $- \cos (u)$ sur $8.384$ et sur $0$ .

$60 (- \cos (8.384) + \cos (0))$

Étape 8

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$60 (- \cos (8.384) + 1)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$60 (- \cos (8.384)) + 60 \cdot 1$

Étape 9.2

Multipliez $- 1$ par $60$ .

$- 60 \cos (8.384) + 60 \cdot 1$

Étape 9.3

Multipliez $60$ par $1$ .

$- 60 \cos (8.384) + 60$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 60 \cos (8.384) + 60$

Forme décimale :

$90.33295124 \dots$