Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\ln (3)} 3 e^{3 x} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{0}^{\ln (3)} e^{3 x} d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \ln (3)$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez $3 \ln (3)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$u_{upper} = \ln (3^{3})$

Étape 2.5.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$u_{upper} = \ln (27)$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (27)$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$3 \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 \int_{0}^{\ln (27)} \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{3}{3} \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3} \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$

Étape 5.3

Multipliez $\int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$ par $1$ .

$\int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{u}]_{0}^{\ln (27)}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $e^{u}$ sur $\ln (27)$ et sur $0$ .

$(e^{\ln (27)}) - e^{0}$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$27 - e^{0}$

Étape 7.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$27 - 1 \cdot 1$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$27 - 1$

Étape 7.2.4

Soustrayez $1$ de $27$ .

$26$

Étape 8