Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\ln (2)} 2 e^{3 x} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{\ln (2)} e^{3 x} d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \ln (2)$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez $3 \ln (2)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$u_{upper} = \ln (2^{3})$

Étape 2.5.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (8)$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{0}^{\ln (8)} \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{2}{3} e^{u}]_{0}^{\ln (8)}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $e^{u}$ sur $\ln (8)$ et sur $0$ .

$\frac{2}{3} ((e^{\ln (8)}) - e^{0})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{2}{3} (8 - e^{0})$

Étape 7.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{2}{3} (8 - 1 \cdot 1)$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{3} (8 - 1)$

Étape 7.2.4

Soustrayez $1$ de $8$ .

$\frac{2}{3} \cdot 7$

Étape 7.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $7$ .

$\frac{2 \cdot 7}{3}$

Étape 7.2.6

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{14}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{14}{3}$

Forme décimale :

$4.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$4 \frac{2}{3}$

Étape 9