Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt[4]{1 + x}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 1.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Étape 1.5

Additionnez $1$ et $8$ .

$u_{upper} = 9$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{u}$ comme $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Étape 2.2

Retirez $u^{\frac{1}{4}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 1$ .

$\int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{4}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{4}}$ par rapport à $u$ est $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{9}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ sur $9$ et sur $1$ .

$(\frac{4}{3} \cdot 9^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $9^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}}$

Étape 4.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

Forme décimale :

$5.59486989 \dots$

Étape 6