Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} 5 x e^{2 x} d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{0}^{1} x e^{2 x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{2 x}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} e^{2 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$5 (x \frac{e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{2 x} d x))$

Étape 5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Étape 5.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Étape 6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u))$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{2})$

Étape 10

Associez $e^{u}]_{0}^{2}$ et $\frac{1}{4}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{e^{u}]_{0}^{2}}{4})$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $\frac{x e^{2 x}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$5 ((\frac{1 e^{2 \cdot 1}}{2}) - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{2}}{4})$

Étape 11.2

Évaluez $e^{u}$ sur $2$ et sur $0$ .

$5 ((\frac{1 e^{2 \cdot 1}}{2}) - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$5 (\frac{1 e^{2}}{2} - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Étape 11.3.2

Multipliez $e^{2}$ par $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Étape 11.3.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Étape 11.3.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Étape 11.3.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Étape 11.3.6

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 11.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Étape 11.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Étape 11.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Étape 11.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Étape 11.3.6.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - 0 - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Étape 11.3.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} + 0 - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Étape 11.3.8

Additionnez $\frac{e^{2}}{2}$ et $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Étape 11.3.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1 \cdot 1}{4})$

Étape 11.3.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Étape 11.3.11

Pour écrire $\frac{e^{2}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Étape 11.3.12

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.3.12.1

Multipliez $\frac{e^{2}}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{e^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Étape 11.3.12.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 (\frac{e^{2} \cdot 2}{4} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Étape 11.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{e^{2} \cdot 2 - (e^{2} - 1)}{4}$

Étape 11.3.14

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2}$ .

$5 \frac{2 \cdot e^{2} - (e^{2} - 1)}{4}$

Étape 11.3.15

Associez $5$ et $\frac{2 e^{2} - (e^{2} - 1)}{4}$ .

$\frac{5 (2 e^{2} - (e^{2} - 1))}{4}$

Étape 12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (2 e^{2} - e^{2} - - 1)}{4}$

Étape 12.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{5 (2 e^{2} - e^{2} + 1)}{4}$

Étape 12.3

Soustrayez $e^{2}$ de $2 e^{2}$ .

$\frac{5 (e^{2} + 1)}{4}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5 (e^{2} + 1)}{4}$

Forme décimale :

$10.48632012 \dots$

Étape 14