Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x e^{- 9 x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = - 18 x e^{- 9 x^{2}} d x$ , donc $- \frac{1}{18} d u_{2} = x e^{- 9 x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $e^{- 9 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 9 x^{2}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 9 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 9 x^{2}$ .

$e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 9 x^{2}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- 9 x^{2}} (- 9 (2 x))$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)$

Étape 1.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)$ .

$- 18 e^{- 9 x^{2}} x$

Étape 1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 18 e^{- 9 x^{2}} x$ .

$- 18 x e^{- 9 x^{2}}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 9 \cdot 0^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = e^{- 9 \cdot 0}$

Étape 1.3.2

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Étape 1.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 9 \cdot 1^{2}}$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = e^{- 9 \cdot 1}$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$u_{upper} = e^{- 9}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e^{9}}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{e^{9}}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{\frac{1}{e^{9}}} \frac{1}{- 18} d u_{2}$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{\frac{1}{e^{9}}} - \frac{1}{18} d u_{2}$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{18} u_{2}]_{1}^{\frac{1}{e^{9}}}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez $- \frac{1}{18} u_{2}$ sur $\frac{1}{e^{9}}$ et sur $1$ .

$(- \frac{1}{18} \cdot \frac{1}{e^{9}}) + \frac{1}{18} \cdot 1$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{e^{9}}$ par $\frac{1}{18}$ .

$- \frac{1}{e^{9} \cdot 18} + \frac{1}{18} \cdot 1$

Étape 4.2.2

Déplacez $18$ à gauche de $e^{9}$ .

$- \frac{1}{18 \cdot e^{9}} + \frac{1}{18} \cdot 1$

Étape 4.2.3

Multipliez $\frac{1}{18}$ par $1$ .

$- \frac{1}{18 e^{9}} + \frac{1}{18}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{18 e^{9}} + \frac{1}{18}$

Forme décimale :

$0.05554869 \dots$

Étape 6