Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} 9 x^{2} - 8 x + 1 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 8 x d x + \int_{0}^{2} d x$

Étape 2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 8 x d x + \int_{0}^{2} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$9 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 8 x d x + \int_{0}^{2} d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 8 x d x + \int_{0}^{2} d x$

Étape 5

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 8 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + x]_{0}^{2}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $0$ .

$9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + x]_{0}^{2}$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $0$ .

$9 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + x]_{0}^{2}$

Étape 9.3

Évaluez $x$ sur $2$ et sur $0$ .

$9 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$9 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$9 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$9 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$9 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$9 (\frac{8}{3} - 0) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$9 (\frac{8}{3} + 0) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.5

Additionnez $\frac{8}{3}$ et $0$ .

$9 (\frac{8}{3}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.6

Associez $9$ et $\frac{8}{3}$ .

$\frac{9 \cdot 8}{3} - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.7

Multipliez $9$ par $8$ .

$\frac{72}{3} - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.8

Annulez le facteur commun à $72$ et $3$ .

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Étape 9.4.8.1

Factorisez $3$ à partir de $72$ .

$\frac{3 \cdot 24}{3} - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 24}{3 (1)} - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1} - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{24}{1} - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.8.2.4

Divisez $24$ par $1$ .

$24 - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$24 - 8 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.10

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 9.4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$24 - 8 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$24 - 8 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$24 - 8 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$24 - 8 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.10.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$24 - 8 (2 - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$24 - 8 (2 - \frac{0}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.12

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 9.4.12.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$24 - 8 (2 - \frac{2 (0)}{2}) + (2) + 0$

Étape 9.4.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$24 - 8 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (2) + 0$

Étape 9.4.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$24 - 8 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (2) + 0$

Étape 9.4.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$24 - 8 (2 - \frac{0}{1}) + (2) + 0$

Étape 9.4.12.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$24 - 8 (2 - 0) + (2) + 0$

Étape 9.4.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$24 - 8 (2 + 0) + (2) + 0$

Étape 9.4.14

Additionnez $2$ et $0$ .

$24 - 8 \cdot 2 + (2) + 0$

Étape 9.4.15

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$24 - 16 + (2) + 0$

Étape 9.4.16

Soustrayez $16$ de $24$ .

$8 + (2) + 0$

Étape 9.4.17

Additionnez $2$ et $0$ .

$8 + 2$

Étape 9.4.18

Additionnez $8$ et $2$ .

$10$

Étape 10