Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} (2 x) d x$

Étape 1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} + 1)}^{10}$ .

$\int_{0}^{1} 2 {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

Étape 3

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 3.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 3.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{2} d u$

Étape 4

Associez $u^{10}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{2} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Étape 6.3

Multipliez $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ par $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{10}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{1}{11} u^{11}$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Élevez $2$ à la puissance $11$ .

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Étape 8.2.2

Associez $\frac{1}{11}$ et $2048$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Étape 8.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

Étape 8.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

Étape 8.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2048 - 1}{11}$

Étape 8.2.6

Soustrayez $1$ de $2048$ .

$\frac{2047}{11}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2047}{11}$

Forme décimale :

$186.\overline{09}$

Forme de nombre mixte :

$186 \frac{1}{11}$

Étape 10