Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x^{2} + 3 x + 1} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x^{2} + 3 x + 1} d x$

Étape 2

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 2.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 3 (x) + 1}$

Étape 2.1.1.1.2

Réécrivez $3$ comme $1$ plus $2$

$\frac{1}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}$

Étape 2.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}$

Étape 2.1.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + x + 2 x + 1}$

Étape 2.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{1}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}$

Étape 2.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{1}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}$

Étape 2.1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) (x + 1)}$

Étape 2.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Étape 2.1.3

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$

Étape 2.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 2.1.5

Annulez le facteur commun de $2 x + 1$ .

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Étape 2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 2.1.6

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.7.1

Annulez le facteur commun de $2 x + 1$ .

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Étape 2.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 2.1.7.1.2

Divisez $(A) (x + 1)$ par $1$ .

$1 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 2.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 2.1.7.3

Multipliez $A$ par $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 2.1.7.4

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 2.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 2.1.7.4.2

Divisez $(B) (2 x + 1)$ par $1$ .

$1 = A x + A + (B) (2 x + 1)$

Étape 2.1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x + A + B (2 x) + B \cdot 1$

Étape 2.1.7.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = A x + A + 2 B x + B \cdot 1$

Étape 2.1.7.7

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = A x + A + 2 B x + B$

Étape 2.1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.8.1

Déplacez $B$ .

$1 = A x + A + 2 x B + B$

Étape 2.1.8.2

Déplacez $A$ .

$1 = A x + 2 x B + A + B$

Étape 2.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + 2 B$

Étape 2.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + B$

Étape 2.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = A + 2 B$

$1 = A + B$

Étape 2.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 2.3.1

Résolvez $A$ dans $0 = A + 2 B$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + 2 B = 0$ .

$A + 2 B = 0$

$1 = A + B$

Étape 2.3.1.2

Soustrayez $2 B$ des deux côtés de l’équation.

$A = - 2 B$

$1 = A + B$

$A = - 2 B$

$1 = A + B$

Étape 2.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- 2 B$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = A + B$ par $- 2 B$ .

$1 = (- 2 B) + B$

$A = - 2 B$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.1

Additionnez $- 2 B$ et $B$ .

$1 = - B$

$A = - 2 B$

$1 = - B$

$A = - 2 B$

$1 = - B$

$A = - 2 B$

Étape 2.3.3

Résolvez $B$ dans $1 = - B$ .

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - 2 B$

Étape 2.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- B = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- B = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Étape 2.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Étape 2.3.3.2.2.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Étape 2.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

Étape 2.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $- 1$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = - 2 B$ par $- 1$ .

$A = - 2 \cdot - 1$

$B = - 1$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

Étape 2.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = 2, B = - 1$

Étape 2.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{2}{2 x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Étape 2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 5

Laissez $u_{1} = 2 x + 1$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{1} = 2 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 5.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Étape 5.5.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$u_{upper} = 3$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 6.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 (\frac{2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 (1 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 8.3

Multipliez $\int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ par $1$ .

$2 (\int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 11

Laissez $u_{2} = x + 1$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 11.1

Laissez $u_{2} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 11.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 11.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 11.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 11.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 11.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 11.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 11.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 11.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}))$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $\ln (| u_{1} |)$ sur $3$ et sur $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}))$

Étape 13.2

Évaluez $\ln (| u_{2} |)$ sur $2$ et sur $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |) - ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 13.3

Supprimez les parenthèses.

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

Étape 14.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))$

Étape 14.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

Étape 14.4

Réécrivez $\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}}$ comme un produit.

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{1}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

Étape 14.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{| 2 |}{| 1 |}$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} (1 \frac{| 1 |}{| 2 |}))$

Étape 14.6

Multipliez $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ par $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{| 1 |}{| 2 |})$

Étape 14.7

Multipliez $\frac{| 3 |}{| 1 |}$ par $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ .

$2 \ln (\frac{| 3 | | 1 |}{| 1 | | 2 |})$

Étape 14.8

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$2 \ln (\frac{| 3 \cdot 1 |}{| 1 | | 2 |})$

Étape 14.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 | | 2 |})$

Étape 14.10

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 \cdot 2 |})$

Étape 14.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Étape 15.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$2 \ln (\frac{3}{2})$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 \ln (\frac{3}{2})$

Forme décimale :

$0.81093021 \dots$

Étape 17