Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{4} - 1$ . Alors $d u = 4 x^{3} d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{4} - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{4} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$4 x^{3}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{4} - 1$ .

$u_{lower} = 0^{4} - 1$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Étape 1.3.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{4} - 1$ .

$u_{upper} = 1^{4} - 1$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 - 1$

Étape 1.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Étape 2.2

Déplacez $4$ à gauche de $u$ .

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{4 u} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 1}^{0}$

Étape 5

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 1 |))$

Étape 6

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Étape 6.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})}{4}$

Étape 7

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Étape 7.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 1 |})}{4}$

Étape 7.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{1})}{4}$

Étape 7.3

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{\ln (0)}{4}$

Étape 7.4

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

$\frac{\ln (0)}{4}$

Étape 8

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini