Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{1} x^{2} + 2 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 2 d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} 2 d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1} + 2 x]_{- 1}^{1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}$ et $2 x]_{- 1}^{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{- 1}^{1}$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} + 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{3} + 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Étape 4.2.2.4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Étape 4.2.2.5

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Étape 4.2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Étape 4.2.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.7.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1 + 6}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Étape 4.2.2.7.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Étape 4.2.2.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1)$

Étape 4.2.2.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{- 1}{3} + 2 \cdot - 1)$

Étape 4.2.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{3} + 2 \cdot - 1)$

Étape 4.2.2.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{3} - 2)$

Étape 4.2.2.12

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3})$

Étape 4.2.2.13

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3})$

Étape 4.2.2.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{3} - \frac{- 1 - 2 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.2.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.15.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{7}{3} - \frac{- 1 - 6}{3}$

Étape 4.2.2.15.2

Soustrayez $6$ de $- 1$ .

$\frac{7}{3} - \frac{- 7}{3}$

Étape 4.2.2.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{7}{3} - - \frac{7}{3}$

Étape 4.2.2.17

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{7}{3} + 1 (\frac{7}{3})$

Étape 4.2.2.18

Multipliez $\frac{7}{3}$ par $1$ .

$\frac{7}{3} + \frac{7}{3}$

Étape 4.2.2.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 + 7}{3}$

Étape 4.2.2.20

Additionnez $7$ et $7$ .

$\frac{14}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{14}{3}$

Forme décimale :

$4.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$4 \frac{2}{3}$

Étape 6