Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} v^{2} \cos (v^{3}) d v$

Étape 1

Laissez $u = v^{3}$ . Alors $d u = 3 v^{2} d v$ , donc $\frac{1}{3} d u = v^{2} d v$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = v^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d v}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $v^{3}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{3}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 v^{2}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $v$ dans $u = v^{3}$ .

$u_{lower} = 0^{3}$

Étape 1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $v$ dans $u = v^{3}$ .

$u_{upper} = 1^{3}$

Étape 1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{\cos (u)}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{1} \cos (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{3} \sin (u)]_{0}^{1}$

Étape 5

Évaluez $\sin (u)$ sur $1$ et sur $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (1) - \sin (0))$

Étape 6

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (1) - 0)$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (1) + 0)$

Étape 6.3

Additionnez $\sin (1)$ et $0$ .

$\frac{1}{3} \sin (1)$

Étape 6.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sin (1)$ .

$\frac{\sin (1)}{3}$

Étape 7

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Étape 7.1

Évaluez $\sin (1)$ .

$\frac{0.84147098}{3}$

Étape 7.2

Divisez $0.84147098$ par $3$ .

$0.28049032$