Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x^{e} + e^{x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} x^{e} d x + \int_{0}^{1} e^{x} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{e}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{e + 1} x^{e + 1}$ .

$\frac{1}{e + 1} x^{e + 1}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{x} d x$

Étape 3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\frac{1}{e + 1} x^{e + 1}]_{0}^{1} + e^{x}]_{0}^{1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{e + 1} x^{e + 1}]_{0}^{1}$ et $e^{x}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{e + 1} x^{e + 1} + e^{x}]_{0}^{1}$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{1}{e + 1} x^{e + 1} + e^{x}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{e + 1} \cdot 1^{e + 1} + e^{1}) - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{e + 1} \cdot 1 + e^{1} - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{e + 1}$ par $1$ .

$\frac{1}{e + 1} + e^{1} - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez

$\frac{1}{e + 1} + e - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Étape 4.2.2.4

Pour écrire $e$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e + 1}{e + 1}$ .

$\frac{1}{e + 1} + \frac{e (e + 1)}{e + 1} - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Étape 4.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + e (e + 1)}{e + 1} - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Étape 4.2.2.6

Associez $\frac{1}{e + 1}$ et $0^{e + 1}$ .

$\frac{1 + e (e + 1)}{e + 1} - (\frac{0^{e + 1}}{e + 1} + e^{0})$

Étape 4.2.2.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 + e (e + 1)}{e + 1} - (\frac{0^{e + 1}}{e + 1} + 1)$

Étape 4.2.2.8

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1 + e (e + 1)}{e + 1} - (\frac{0^{e + 1}}{e + 1} + \frac{e + 1}{e + 1})$

Étape 4.2.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + e (e + 1)}{e + 1} - \frac{0^{e + 1} + e + 1}{e + 1}$

Étape 4.2.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + e (e + 1) - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + e e + e \cdot 1 - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Étape 5.2

Multipliez $e e$ .

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Étape 5.2.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + e^{1} e + e \cdot 1 - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Étape 5.2.2

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + e^{1} e^{1} + e \cdot 1 - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Étape 5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + e^{1 + 1} + e \cdot 1 - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Étape 5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + e^{2} + e \cdot 1 - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Étape 5.3

Multipliez $e$ par $1$ .

$\frac{1 + e^{2} + e - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + e^{2} + e - 0^{e + 1} - e - 1 \cdot 1}{e + 1}$

Étape 5.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + e^{2} + e - 0^{e + 1} - e - 1}{e + 1}$

Étape 5.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + e^{2} + e - 0^{e + 1} - e}{e + 1}$

Étape 5.7

Additionnez $0$ et $e^{2}$ .

$\frac{e^{2} + e - 0^{e + 1} - e}{e + 1}$

Étape 5.8

Soustrayez $e$ de $e$ .

$\frac{e^{2} + 0 - 0^{e + 1}}{e + 1}$

Étape 5.9

Additionnez $e^{2}$ et $0$ .

$\frac{e^{2} - 0^{e + 1}}{e + 1}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{e^{2} - 0^{e + 1}}{e + 1}$

Forme décimale :

$1.98722324 \dots$

Étape 7