Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} 5 x^{2} - 4 x + 8 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 4 x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

Étape 2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 4 x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 4 x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 4 x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

Étape 5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) - 4 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 8 d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 8 d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 8 x]_{0}^{1}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $0$ .

$5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 8 x]_{0}^{1}$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 8 x]_{0}^{1}$

Étape 9.3

Évaluez $8 x$ sur $1$ et sur $0$ .

$5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$5 (\frac{1}{3} - 0) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$5 (\frac{1}{3} + 0) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.5

Additionnez $\frac{1}{3}$ et $0$ .

$5 (\frac{1}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.6

Associez $5$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 9.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - 0) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} + 0) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.11

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.12

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{- 4}{2} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.13

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 9.4.13.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{3} + \frac{- 2}{1} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.13.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\frac{5}{3} - 2 + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.14

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.15

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 - 2 \cdot 3}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.17.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{5 - 6}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.17.2

Soustrayez $6$ de $5$ .

$\frac{- 1}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.19

Multipliez $8$ par $1$ .

$- \frac{1}{3} + 8 - 8 \cdot 0$

Étape 9.4.20

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$- \frac{1}{3} + 8 + 0$

Étape 9.4.21

Additionnez $8$ et $0$ .

$- \frac{1}{3} + 8$

Étape 9.4.22

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.4.23

Associez $8$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Étape 9.4.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 8 \cdot 3}{3}$

Étape 9.4.25

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.25.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{- 1 + 24}{3}$

Étape 9.4.25.2

Additionnez $- 1$ et $24$ .

$\frac{23}{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{23}{3}$

Forme décimale :

$7.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$7 \frac{2}{3}$

Étape 11