Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} + 4$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 4$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$u_{lower} = 4$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 4$ .

$u_{upper} = {\sqrt{5}}^{2} + 4$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 1.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4$

Étape 1.5.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4$

Étape 1.5.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u_{upper} = 5^{\frac{2}{2}} + 4$

Étape 1.5.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 5^{\frac{2}{2}} + 4$

Étape 1.5.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = 5^{1} + 4$

Étape 1.5.1.5

Évaluez l’exposant.

$u_{upper} = 5 + 4$

Étape 1.5.2

Additionnez $5$ et $4$ .

$u_{upper} = 9$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{9} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $9$ et sur $4$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Étape 6.2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Étape 6.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2^{1})$

Étape 6.2.9

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2)$

Étape 6.2.10

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - 4)$

Étape 6.2.11

Soustrayez $4$ de $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 6.2.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2}$

Étape 6.2.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.13.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2}$

Étape 6.2.13.2

Réécrivez l’expression.

$1$

Étape 7