Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (y) d y$

Étape 1

L’intégrale de $\sec (y)$ par rapport à $y$ est $\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)$ .

$\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Étape 2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1

Évaluez $\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)$ sur $\frac{π}{6}$ et sur $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{6}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{6})$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \tan (\frac{π}{6}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Étape 2.2.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Étape 2.2.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Étape 2.2.4

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 |)$

Étape 2.2.6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1.1.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.3.1.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.3

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\ln (\frac{| \frac{3 \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{| \frac{3 \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.4.2

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{3} |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.5

$\sqrt{3}$ est d’environ $1.7320508$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{| 1 |})$

Étape 2.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{1})$

Étape 2.3.3

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\ln (\sqrt{3})$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (\sqrt{3})$

Forme décimale :

$0.54930614 \dots$