Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (x) d x$

Étape 1

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 d x + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$- x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) d x$

Étape 4

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$- x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $- x]_{0}^{\frac{π}{4}}$ et $\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$- x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $- x + \tan (x)$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $0$ .

$(- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4})) - (- 0 + \tan (0))$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - (0 + \tan (0))$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $0$ et $\tan (0)$ .

$- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - \tan (0)$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$- \frac{π}{4} + 1 - \tan (0)$

Étape 5.3.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$- \frac{π}{4} + 1 - 0$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{π}{4} + 1 + 0$

Étape 5.3.4

Additionnez $- \frac{π}{4} + 1$ et $0$ .

$- \frac{π}{4} + 1$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{π}{4} + 1$

Forme décimale :

$0.21460183 \dots$