Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{5} (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Associez $\sin^{5} (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{5} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Factorisez $\sin^{4} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 5.2

Réécrivez ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ comme $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 7

Laissez $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , donc $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Étape 7.1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Étape 7.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Étape 7.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{0} - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

Étape 9

Développez ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ comme $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Étape 9.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Étape 9.5

Déplacez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Étape 9.6

Déplacez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9.7

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9.11

Multipliez ${u_{2}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

Étape 9.13

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 9.14

Soustrayez ${u_{2}}^{2}$ de $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 9.15

Remettez dans l’ordre $- 2 {u_{2}}^{2}$ et ${u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9.16

Déplacez $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (- (\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{4}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Étape 12

Associez $\frac{1}{5}$ et ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Étape 13

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Étape 15

Associez $\frac{1}{3}$ et ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Étape 16

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u_{2}]_{1}^{0}))$

Étape 17

Associez $\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0}$ et $u_{2}]_{1}^{0}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

Étape 18

Remplacez et simplifiez.

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Étape 18.1

Évaluez $\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}$ sur $0$ et sur $1$ .

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

Étape 18.2

Évaluez $\frac{{u_{2}}^{3}}{3}$ sur $0$ et sur $1$ .

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3

Simplifiez

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Étape 18.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 18.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 18.3.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.7

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.8

Soustrayez $\frac{6}{5}$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 18.3.10.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 18.3.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3})))$

Étape 18.3.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3})))$

Étape 18.3.12

Soustrayez $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3})))$

Étape 18.3.13

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3})))$

Étape 18.3.14

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3}))$

Étape 18.3.15

Pour écrire $- \frac{6}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}))$

Étape 18.3.16

Pour écrire $\frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Étape 18.3.17

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 18.3.17.1

Multipliez $\frac{6}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Étape 18.3.17.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Étape 18.3.17.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}))$

Étape 18.3.17.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15}))$

Étape 18.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15})$

Étape 18.3.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.3.19.1

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15})$

Étape 18.3.19.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 18 + 10}{15})$

Étape 18.3.19.3

Additionnez $- 18$ et $10$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 8}{15})$

Étape 18.3.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (- - \frac{8}{15})$

Étape 18.3.21

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (1 (\frac{8}{15}))$

Étape 18.3.22

Multipliez $\frac{8}{15}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{15}$

Étape 18.3.23

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{8}{15}$ .

$\frac{8}{2 \cdot 15}$

Étape 18.3.24

Multipliez $2$ par $15$ .

$\frac{8}{30}$

Étape 18.3.25

Annulez le facteur commun à $8$ et $30$ .

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Étape 18.3.25.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (4)}{30}$

Étape 18.3.25.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 18.3.25.2.1

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 15}$

Étape 18.3.25.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 15}$

Étape 18.3.25.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{15}$

Étape 19

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4}{15}$

Forme décimale :

$0.2\overline{6}$