Calcul infinitésimal Exemples

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t$

Étape 1

Laissez

u = 3 t

$u = 3 t$ . Alors

d u = 3 d t

$d u = 3 d t$ , donc

\frac{1}{3} d u = d t

$\frac{1}{3} d u = d t$ . Réécrivez avec

u

$u$ et

d

$d$

u

$u$ .

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Étape 1.1

Laissez

u = 3 t

$u = 3 t$ . Déterminez

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez

3 t

$3 t$ .

\frac{d}{d t} [3 t]

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Étape 1.1.2

Comme

3

$3$ est constant par rapport à

t

$t$ , la dérivée de

3 t

$3 t$ par rapport à

t

$t$ est

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$ .

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

3 \cdot 1

$3 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

3

$3$

3

$3$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour

t

$t$ dans

u = 3 t

$u = 3 t$ .

u_{lower} = 3 \cdot 0

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez

3

$3$ par

0

$0$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour

t

$t$ dans

u = 3 t

$u = 3 t$ .

u_{upper} = 3 \frac{π}{3}

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de

3

$3$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

u_{upper} = 3 \frac{π}{3}

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

Étape 1.5.2

Réécrivez l’expression.

u_{upper} = π

$u_{upper} = π$

u_{upper} = π

$u_{upper} = π$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour

u_{lower}

$u_{lower}$ et

u_{upper}

$u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = π

$u_{upper} = π$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant

u

$u$ ,

d u

$d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Associez

\sin (u)

$\sin (u)$ et

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

Étape 3

Comme

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ est constant par rapport à

u

$u$ , placez

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de

\sin (u)

$\sin (u)$ par rapport à

u

$u$ est

- \cos (u)

$- \cos (u)$ .

\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}

$\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Étape 5

Évaluez

- \cos (u)

$- \cos (u)$ sur

π

$π$ et sur

0

$0$ .

\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))$

Étape 6

La valeur exacte de

\cos (0)

$\cos (0)$ est

1

$1$ .

\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)

$\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)$

Étape 7.2

La valeur exacte de

\cos (0)

$\cos (0)$ est

1

$1$ .

\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)

$\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Étape 7.3

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

\frac{1}{3} (- - 1 + 1)

$\frac{1}{3} (- - 1 + 1)$

Étape 7.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{1}{3} (1 + 1)

$\frac{1}{3} (1 + 1)$

Étape 7.5

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\frac{1}{3} \cdot 2

$\frac{1}{3} \cdot 2$

Étape 7.6

Associez

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ et

2

$2$ .

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$

Forme décimale :

0.\overline{6}

$0.\overline{6}$