Calcul infinitésimal Exemples

$\int x {(x + 5)}^{6} d x$

Étape 1

Laissez $u = x + 5$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x + 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (u - 5) u^{6} d u$

Étape 2

Multipliez $(u - 5) u^{6}$ .

$\int u \cdot u^{6} - 5 u^{6} d u$

Étape 3

Multipliez $u$ par $u^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Multipliez $u$ par $u^{6}$ .

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Étape 3.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{6} - 5 u^{6} d u$

Étape 3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + 6} - 5 u^{6} d u$

Étape 3.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$\int u^{7} - 5 u^{6} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{7} d u + \int - 5 u^{6} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{7}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int - 5 u^{6} d u$

Étape 6

Comme $- 5$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 5 \int u^{6} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{6}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 5 (\frac{1}{7} u^{7} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{1}{8} u^{8} - 5 (\frac{1}{7}) u^{7} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{- 5}{7} u^{7} + C$

Étape 8.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{8} u^{8} - \frac{5}{7} u^{7} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 5$ .

$\frac{1}{8} {(x + 5)}^{8} - \frac{5}{7} {(x + 5)}^{7} + C$