Calcul infinitésimal Exemples

$\int x {(3 x + 8)}^{11} d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 x + 8$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 x + 8$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 x + 8$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 8]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) u^{11} \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{11}$ .

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) \frac{u^{11}}{3} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{u}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{u}{3}$ par $\frac{u^{11}}{3}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Étape 3.3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{u^{1 + 11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $11$ .

$\int \frac{u^{12}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Étape 3.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Étape 3.7

Associez $- \frac{8}{3}$ et $\frac{u^{11}}{3}$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{3 \cdot 3} d u$

Étape 3.8

Multipliez $3$ par $3$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{u^{12}}{9} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} \int u^{12} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{12}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{13} u^{13}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \int \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Étape 8

Comme $\frac{8}{9}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{8}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - (\frac{8}{9} \int u^{11} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{11}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \frac{8}{9} (\frac{1}{12} u^{12} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{1}{13}$ .

$\frac{1}{9 \cdot 13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Étape 10.2.2

Multipliez $9$ par $13$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Étape 10.2.3

Multipliez $\frac{1}{12}$ par $\frac{8}{9}$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{12 \cdot 9} u^{12} + C$

Étape 10.2.4

Multipliez $12$ par $9$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{108} u^{12} + C$

Étape 10.2.5

Annulez le facteur commun à $8$ et $108$ .

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Étape 10.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 (2)}{108} u^{12} + C$

Étape 10.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $108$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

Étape 10.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

Étape 10.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{2}{27} u^{12} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 8$ .

$\frac{1}{117} {(3 x + 8)}^{13} - \frac{2}{27} {(3 x + 8)}^{12} + C$