Calcul infinitésimal Exemples

$\int t \ln (t + 1) d t$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (t + 1)$ et $d v = t$ .

$\ln (t + 1) (\frac{1}{2} t^{2}) - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t + 1} d t$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$\ln (t + 1) \frac{t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t + 1} d t$

Étape 2.2

Associez $\ln (t + 1)$ et $\frac{t^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t + 1} d t$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t^{2} \frac{1}{t + 1} d t)$

Étape 4

Associez $t^{2}$ et $\frac{1}{t + 1}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{t^{2}}{t + 1} d t$

Étape 5

Divisez $t^{2}$ par $t + 1$ .

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Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$t$

$1$

$t^{2}$

$0 t$

$0$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $t^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $t$ .

					$t$
	$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			+	$t^{2}$	+	$t$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $t^{2} + t$

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$

Étape 5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$

Étape 5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- t$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $t$ .

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$

Étape 5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$
					-	$t$	-	$1$

Étape 5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- t - 1$

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$
					+	$t$	+	$1$

Étape 5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$
					+	$t$	+	$1$
							+	$1$

Étape 5.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int t - 1 + \frac{1}{t + 1} d t$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{1}{t + 1} d t)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C + \int - 1 d t + \int \frac{1}{t + 1} d t)$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C - t + C + \int \frac{1}{t + 1} d t)$

Étape 9

Laissez $u = t + 1$ . Puis $d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = t + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Étape 9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 9.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 9.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C - t + C + \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C - t + C + \ln (| u |) + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (t + 1) t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) + C$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (t + 1)$ .

$\frac{\ln (t + 1)}{2} t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) + C$

Étape 11.2.2

Associez $\frac{\ln (t + 1)}{2}$ et $t^{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) + C$

Étape 11.2.3

Pour écrire $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 11.2.4

Associez $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |))$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Étape 11.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Étape 11.2.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Étape 11.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Étape 11.2.8

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Étape 11.2.9

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 11.2.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Étape 11.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Étape 11.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Étape 11.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Étape 11.2.9.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t + 1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| t + 1 |))}{2} + C$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Pour écrire $\ln (| t + 1 |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2}}{2} + \ln (| t + 1 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

Étape 13.2

Associez $\ln (| t + 1 |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2}}{2} + \frac{\ln (| t + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Étape 13.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2} + \ln (| t + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Étape 13.4

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (| t + 1 |)$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2})}{2} + C$

Étape 13.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - - t - \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2}}{2} + C$

Étape 13.6

Multipliez $- - t$ .

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Étape 13.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + 1 t - \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2}}{2} + C$

Étape 13.6.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + t - \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2}}{2} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} (\ln (t + 1) t^{2} + t - \frac{1}{2} (t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |))) + C$