Calcul infinitésimal Exemples

$16 p \int_{0}^{5} {(1 - \frac{x}{5})}^{2} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - \frac{x}{5}$ . Alors $d u = - \frac{1}{5} d x$ , donc $- 5 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - \frac{x}{5}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - \frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{5}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \frac{x}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- \frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{5} \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - \frac{1}{5}$

Étape 1.1.4

Soustrayez $\frac{1}{5}$ de $0$ .

$- \frac{1}{5}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 - \frac{x}{5}$ .

$u_{lower} = 1 - \frac{0}{5}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Divisez $0$ par $5$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 - \frac{x}{5}$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{5}{5}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 1 - \frac{5}{5}$

Étape 1.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Étape 1.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{1}{5}} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{1}{5}} d u$

Étape 2.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{5}$ .

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} (1 \cdot 5) d u$

Étape 2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \cdot 5 d u$

Étape 2.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$16 p \int_{1}^{0} - 5 u^{2} d u$

Étape 3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$16 p (- 5 \int_{1}^{0} u^{2} d u)$

Étape 4

Multipliez $- 5$ par $16$ .

$- 80 p \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- 80 p \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Étape 6

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$- 80 p \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{u^{3}}{3}$ sur $0$ et sur $1$ .

$- 80 p ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 80 p (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$- 80 p (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 80 p (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 80 p (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 80 p (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 80 p (0 - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 80 p (0 - \frac{1}{3})$

Étape 7.2.4

Soustrayez $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$- 80 p (- \frac{1}{3})$

Étape 7.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 80$ .

$80 p \frac{1}{3}$

Étape 7.2.6

Associez $80$ et $\frac{1}{3}$ .

$p \frac{80}{3}$

Étape 7.2.7

Associez $p$ et $\frac{80}{3}$ .

$\frac{p \cdot 80}{3}$

Étape 7.2.8

Déplacez $80$ à gauche de $p$ .

$\frac{80 p}{3}$

Étape 8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{80}{3} p$

Étape 9

Associez $\frac{80}{3}$ et $p$ .

$\frac{80 p}{3}$

Étape 10