Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{10}{3 \int {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}} d t}$

Étape 1

Laissez $u = 1 + 0.2 t$ . Alors $d u = 0.2 d t$ , donc $\frac{1}{0.2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + 0.2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + 0.2 t$ .

$\frac{d}{d t} [1 + 0.2 t]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 0.2 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [0.2 t]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [0.2 t]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $0.2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0.2 t$ par rapport à $t$ est $0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 0.2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 0.2 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $0.2$ par $1$ .

$0 + 0.2$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $0.2$ .

$0.2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{10}{3 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{0.2} d u}$

Étape 2

Associez $u^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{0.2}$ .

$\frac{10}{3 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{0.2} d u}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{0.2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{0.2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{10}{3 (\frac{1}{0.2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)}$

Étape 4

Associez $\frac{1}{0.2}$ et $3$ .

$\frac{10}{\frac{3}{0.2} \int u^{\frac{3}{2}} d u}$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{10}{\frac{3}{0.2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{10}{\frac{3}{0.2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)}$ comme $\frac{10}{15 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})} + C$ .

$\frac{10}{15 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})} + C$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{10}{15 \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}} + C$

Étape 6.2.2

Associez $15$ et $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{10}{\frac{15 (2 u^{\frac{5}{2}})}{5}} + C$

Étape 6.2.3

Multipliez $2$ par $15$ .

$\frac{10}{\frac{30 u^{\frac{5}{2}}}{5}} + C$

Étape 6.2.4

Factorisez $5$ à partir de $30 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{10}{\frac{5 (6 u^{\frac{5}{2}})}{5}} + C$

Étape 6.2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.5.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{10}{\frac{5 (6 u^{\frac{5}{2}})}{5 (1)}} + C$

Étape 6.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{10}{\frac{5 (6 u^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 1}} + C$

Étape 6.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10}{\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{1}} + C$

Étape 6.2.5.4

Divisez $6 u^{\frac{5}{2}}$ par $1$ .

$\frac{10}{6 u^{\frac{5}{2}}} + C$

Étape 6.2.6

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 (5)}{6 u^{\frac{5}{2}}} + C$

Étape 6.2.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $6 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (5)}{2 (3 u^{\frac{5}{2}})} + C$

Étape 6.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 5}{2 (3 u^{\frac{5}{2}})} + C$

Étape 6.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{3 u^{\frac{5}{2}}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 0.2 t$ .

$\frac{5}{3 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{5}{2}}} + C$