Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \sin (\frac{1}{9} x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (\frac{1}{9} x)$ .

$x (- 9 \cos (\frac{1}{9} x)) - \int - 9 \cos (\frac{1}{9} x) d x$

Étape 2

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 9$ en dehors de l’intégrale.

$x (- 9 \cos (\frac{1}{9} x)) - (- 9 \int \cos (\frac{1}{9} x) d x)$

Étape 3

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{9}$ et $x$ .

$x (- 9 \cos (\frac{x}{9})) - (- 9 \int \cos (\frac{1}{9} x) d x)$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{9}$ et $x$ .

$x (- 9 \cos (\frac{x}{9})) - (- 9 \int \cos (\frac{x}{9}) d x)$

Étape 3.3

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$x (- 9 \cos (\frac{x}{9})) + 9 \int \cos (\frac{x}{9}) d x$

Étape 4

Laissez $u = \frac{x}{9}$ . Alors $d u = \frac{1}{9} d x$ , donc $9 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \frac{x}{9}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\frac{x}{9}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]$

Étape 4.1.2

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{9}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $1$ .

$\frac{1}{9}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x (- 9 \cos (\frac{x}{9})) + 9 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{9}} d u$

Étape 5

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Étape 5.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{9}$ .

$x (- 9 \cos (\frac{x}{9})) + 9 \int \cos (u) (1 \cdot 9) d u$

Étape 5.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$x (- 9 \cos (\frac{x}{9})) + 9 \int \cos (u) \cdot 9 d u$

Étape 5.3

Déplacez $9$ à gauche de $\cos (u)$ .

$x (- 9 \cos (\frac{x}{9})) + 9 \int 9 \cos (u) d u$

Étape 6

Comme $9$ est constant par rapport à $u$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$x (- 9 \cos (\frac{x}{9})) + 9 (9 \int \cos (u) d u)$

Étape 7

Multipliez $9$ par $9$ .

$x (- 9 \cos (\frac{x}{9})) + 81 \int \cos (u) d u$

Étape 8

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$x (- 9 \cos (\frac{x}{9})) + 81 (\sin (u) + C)$

Étape 9

Réécrivez $x (- 9 \cos (\frac{x}{9})) + 81 (\sin (u) + C)$ comme $- 9 x \cos (\frac{x}{9}) + 81 \sin (u) + C$ .

$- 9 x \cos (\frac{x}{9}) + 81 \sin (u) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{9}$ .

$- 9 x \cos (\frac{x}{9}) + 81 \sin (\frac{x}{9}) + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 9 x \cos (\frac{1}{9} x) + 81 \sin (\frac{1}{9} x) + C$