Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{- x} \ln (x)$ , $(1, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{- x}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{- x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.3

Associez $e^{- x}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.5

Différenciez.

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Étape 1.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 1.5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 1.5.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Étape 1.5.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- e^{- x})$

Étape 1.5.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{- x} \ln (x) + \frac{e^{- x}}{x}$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- (1)}}{1}$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Étape 1.7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- e^{- 1} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Étape 1.7.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Étape 1.7.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- \frac{1}{e} \cdot 0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

Étape 1.7.2.4

Multipliez $- \frac{1}{e} \cdot 0$ .

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Étape 1.7.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 \frac{1}{e} + \frac{e^{- 1}}{1}$

Étape 1.7.2.4.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{e}$ .

$0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

Étape 1.7.2.5

Placez $e^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{e}$

Étape 1.7.3

Additionnez $0$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{e}$ et un point donné, tel que $(1, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{1}{e} \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.2

Simplifiez $\frac{1}{e} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Étape 2.3.2.2

Associez $\frac{1}{e}$ et $x$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Étape 2.3.2.3

Associez $\frac{1}{e}$ et $- 1$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Étape 2.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{e} x - \frac{1}{e}$

Étape 3