Calcul infinitésimal Exemples

$\int p {(p + 8)}^{7} d p$

Étape 1

Laissez $u = p + 8$ . Puis $d u = d p$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = p + 8$ . Déterminez $\frac{d u}{d p}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $p + 8$ .

$\frac{d}{d p} [p + 8]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $p + 8$ par rapport à $p$ est $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [8]$ .

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [8]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d p} [8]$

Étape 1.1.4

Comme $8$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $8$ par rapport à $p$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (u - 8) u^{7} d u$

Étape 2

Multipliez $(u - 8) u^{7}$ .

$\int u \cdot u^{7} - 8 u^{7} d u$

Étape 3

Multipliez $u$ par $u^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Multipliez $u$ par $u^{7}$ .

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Étape 3.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{7} - 8 u^{7} d u$

Étape 3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + 7} - 8 u^{7} d u$

Étape 3.2

Additionnez $1$ et $7$ .

$\int u^{8} - 8 u^{7} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{8} d u + \int - 8 u^{7} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{8}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{9} u^{9} + C + \int - 8 u^{7} d u$

Étape 6

Comme $- 8$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} u^{9} + C - 8 \int u^{7} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{7}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{9} u^{9} + C - 8 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{1}{9} u^{9} - 8 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{9} u^{9} + \frac{- 8}{8} u^{8} + C$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $8$ .

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$\frac{1}{9} u^{9} + \frac{8 \cdot - 1}{8} u^{8} + C$

Étape 8.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{9} u^{9} + \frac{8 \cdot - 1}{8 (1)} u^{8} + C$

Étape 8.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9} u^{9} + \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 1} u^{8} + C$

Étape 8.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9} u^{9} + \frac{- 1}{1} u^{8} + C$

Étape 8.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{9} u^{9} - u^{8} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $p + 8$ .

$\frac{1}{9} {(p + 8)}^{9} - {(p + 8)}^{8} + C$