Calcul infinitésimal Exemples

$\int t \sin^{2} (t) d t$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = \sin^{2} (t)$ .

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - \int \frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\int \frac{1}{2} t d t + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} \int t d t + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} \sin (2 t) d t)$

Étape 5

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $t$ , placez $- \frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (2 t) d t)$

Étape 6

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 6.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$t (\frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Étape 8.2

Associez $\sin (2 t)$ et $\frac{1}{4}$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Étape 9

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)))$

Étape 10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} (- \cos (u) + C))$

Étape 10.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

Étape 10.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$t (\frac{t}{2} - \frac{\sin (2 t)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

Étape 10.2

Simplifiez

$\frac{t^{2}}{2} - t \frac{\sin (2 t)}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Étape 10.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Associez $\frac{\sin (2 t)}{4}$ et $t$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Étape 10.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{t^{2}}{2}$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Étape 10.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Étape 10.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + 1 (\frac{1}{8}) \cos (u)) + C$

Étape 10.3.5

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $1$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{1}{8} \cos (u)) + C$

Étape 10.3.6

Associez $\frac{1}{8}$ et $\cos (u)$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) + C$

Étape 10.3.7

Pour écrire $- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Étape 10.3.8

Associez $- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t}{4} + \frac{- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

Étape 10.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

Étape 10.3.10

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})}{4} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (2 t)}{8})}{4} + C$

Étape 12

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - 4 \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t + 4 (- 1) \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

Étape 12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t + 4 \cdot - 1 \frac{t^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

Étape 12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} - 4 \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 (- 1) \frac{\cos (2 t)}{8}}{4} + C$

Étape 12.3.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 t)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

Étape 12.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 t)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

Étape 12.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 t) t - t^{2} - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Étape 13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (2 t) t$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t) - t^{2} - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Étape 13.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- t^{2}$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t) - (t^{2}) - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Étape 13.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin (2 t) t) - (t^{2})$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2}) - \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Étape 13.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{\cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2}) - (\frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

Étape 13.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin (2 t) t + t^{2}) - (\frac{\cos (2 t)}{2})$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

Étape 13.6

Réécrivez $- (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})$ comme $- 1 (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})$ .

$\frac{t^{2}}{2} + \frac{- 1 (\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2})}{4} + C$

Étape 13.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Étape 13.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{\sin (2 t) t + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4}$ .

$\frac{t^{2}}{2} - \frac{t \sin (2 t) + t^{2} + \frac{\cos (2 t)}{2}}{4} + C$

Étape 13.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{4} (t \sin (2 t) + t^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 t)) + C$