Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin (x) \cdot \sqrt{1 - \cos (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - \cos (x)$ . Alors $d u = \sin (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$0 + \sin (x)$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - \cos (x)$ .

$\frac{2}{3} {(1 - \cos (x))}^{\frac{3}{2}} + C$