Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin (π x) \cos (π x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \sin (π x)$ . Alors $d u_{2} = π \cos (π x) d x$ , donc $\frac{1}{π} d u_{2} = \cos (π x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \sin (π x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $π x$ .

$\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (π x) (π \cdot 1)$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\cos (π x) π$

Étape 1.1.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $\cos (π x) π$ .

$π \cos (π x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{π} d u_{2}$

Étape 2

Associez $u_{2}$ et $\frac{1}{π}$ .

$\int \frac{u_{2}}{π} d u_{2}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{π} \int u_{2} d u_{2}$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{π} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ comme $\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{1}{π}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{π \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{1}{2 π} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (π x)$ .

$\frac{1}{2 π} \sin^{2} (π x) + C$