Calcul infinitésimal Exemples

$\int \arcsin (3 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \arcsin (3 x)$ et $d v = 1$ .

$\arcsin (3 x) x - \int x \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $x$ et $\frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ .

$\arcsin (3 x) x - \int \frac{x \cdot 3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Étape 2.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\arcsin (3 x) x - \int \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\arcsin (3 x) x - (3 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x)$

Étape 4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Étape 5

Laissez $u = 1 - 9 x^{2}$ . Alors $d u = - 18 x d x$ , donc $- \frac{1}{18} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 1 - 9 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $1 - 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 5.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 9 (2 x)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$0 - 18 x$

Étape 5.1.4

Soustrayez $18 x$ de $0$ .

$- 18 x$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 18} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{18}) d u$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{18}$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 18} d u$

Étape 6.3

Déplacez $18$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\arcsin (3 x) x - 3 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u)$

Étape 8

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\arcsin (3 x) x + 3 \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Étape 9

Comme $\frac{1}{18}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{18}$ en dehors de l’intégrale.

$\arcsin (3 x) x + 3 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Associez $\frac{1}{18}$ et $3$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 10.1.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $18$ .

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Étape 10.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 (1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 10.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 10.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 10.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 10.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 10.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 10.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 10.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 10.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 10.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 10.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 12

Réécrivez $\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $\arcsin (3 x) x + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} + C$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 9 x^{2}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{{(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{3} {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$