Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{a}^{b} 5 e^{2 t} d t$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{a}^{b} e^{2 t} d t$

Étape 2

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 a$

Étape 2.3

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 b$

Étape 2.4

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2 a$

$u_{upper} = 2 b$

Étape 2.5

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$5 \int_{2 a}^{2 b} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{2 a}^{2 b} \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{2} \int_{2 a}^{2 b} e^{u} d u)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $5$ .

$\frac{5}{2} \int_{2 a}^{2 b} e^{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{5}{2} e^{u}]_{2 a}^{2 b}$

Étape 7

Évaluez $e^{u}$ sur $2 b$ et sur $2 a$ .

$\frac{5}{2} (e^{2 b} - e^{2 a})$