Calcul infinitésimal Exemples

$\int arccsc (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = arccsc (x)$ et $d v = 1$ .

$arccsc (x) x - \int x (- \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}) d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ .

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$arccsc (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$arccsc (x) x - - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$arccsc (x) x + 1 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Étape 4.2

Multipliez $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$ par $1$ .

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Étape 5

Laissez $x = \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ est positif.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Simplifiez $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Étape 6.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 6.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $\tan (t)$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $\tan (t)$ à partir de $\sec (t) \tan (t)$ .

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$arccsc (x) x + \int \sec (t) d t$

Étape 7

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (x)$ .

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + C$