Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Étape 1

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Étape 1.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $2$ de l’exposant.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

Étape 1.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Étape 1.5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $2$ et sur $1$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.1.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Forme décimale :

$0.82842712 \dots$