Calcul infinitésimal Exemples

$π \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Étape 1

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (x)$ en $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$π \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$π (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x)$

Étape 3

Associez $\frac{1}{2}$ et $π$ .

$\frac{π}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{π}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Étape 7

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 7.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Étape 7.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Étape 7.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 8

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

Étape 10

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $x$ sur $π$ et sur $0$ .

$\frac{π}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Étape 11.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$\frac{π}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Étape 11.3

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

Étape 12.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

Étape 12.3

Additionnez $\sin (2 π)$ et $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

Étape 12.4

Associez $\sin (2 π)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

Étape 13.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{π}{2} (π - \frac{0}{2})$

Étape 13.2

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{π}{2} (π - 0)$

Étape 13.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{π}{2} (π + 0)$

Étape 13.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{π}{2} π$

Étape 13.5

Multipliez $\frac{π}{2} π$ .

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Étape 13.5.1

Associez $\frac{π}{2}$ et $π$ .

$\frac{π π}{2}$

Étape 13.5.2

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$\frac{π^{1} π}{2}$

Étape 13.5.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$\frac{π^{1} π^{1}}{2}$

Étape 13.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{π^{1 + 1}}{2}$

Étape 13.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{π^{2}}{2}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π^{2}}{2}$

Forme décimale :

$4.93480220 \dots$