Calcul infinitésimal Exemples

$\int 3 x^{2} - \sqrt{5 x} + 2 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 x^{2} d x + \int - \sqrt{5 x} d x + \int 2 d x$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x^{2} d x + \int - \sqrt{5 x} d x + \int 2 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \sqrt{5 x} d x + \int 2 d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \sqrt{5 x} d x + \int 2 d x$

Étape 5

Laissez $u = 5 x$ . Alors $d u = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 5.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u + \int 2 d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u + \int 2 d x$

Étape 6.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{5}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int \frac{\sqrt{u}}{5} d u + \int 2 d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u) + \int 2 d x$

Étape 8

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int 2 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int 2 d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 2 x + C$

Étape 11

Simplifiez

$x^{3} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{15} + 2 x + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$x^{3} - \frac{2 {(5 x)}^{\frac{3}{2}}}{15} + 2 x + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{3} - \frac{2}{15} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + 2 x + C$