Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{q x + r}{s x + t}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = q x + r$ et $g (x) = s x + t$ .

$\frac{(s x + t) \frac{d}{d x} [q x + r] - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $q x + r$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [q x] + \frac{d}{d x} [r]$ .

$\frac{(s x + t) (\frac{d}{d x} [q x] + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $q$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $q x$ par rapport à $x$ est $q \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(s x + t) (q \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(s x + t) (q \cdot 1 + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $q$ par $1$ .

$\frac{(s x + t) (q + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $r$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $r$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(s x + t) (q + 0) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 2.6

Additionnez $q$ et $0$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $s x + t$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [s x] + \frac{d}{d x} [t]$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (\frac{d}{d x} [s x] + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $s$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $s x$ par rapport à $x$ est $s \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s \cdot 1 + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $s$ par $1$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 2.11

Comme $t$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $t$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s + 0)}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 2.12

Additionnez $s$ et $0$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) s}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{s x q + t q - (q x + r) s}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{s x q + t q + (- (q x) - r) s}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{s x q + t q - (q x) s - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 3.4

Associez les termes opposés dans $s x q + t q - (q x) s - r s$ .

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Étape 3.4.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $s x q$ et $- (q x) s$ .

$\frac{q s x + t q - q s x - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $q s x$ de $q s x$ .

$\frac{t q + 0 - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Additionnez $t q$ et $0$ .

$\frac{t q - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{q t - r s}{{(s x + t)}^{2}}$