Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{1}{x}$ . Alors $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , donc $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{1}{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Étape 1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

Étape 2.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{u}$ .

$\int - e^{u} u d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int e^{u} u d u$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = e^{u}$ .

$- (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Étape 6

Simplifiez

$- (u e^{u} - e^{u}) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$- (\frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $e^{\frac{1}{x}}$ .

$- (\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - - e^{\frac{1}{x}} + C$

Étape 8.3

Multipliez $- - e^{\frac{1}{x}}$ .

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Étape 8.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{1}{x}} + C$

Étape 8.3.2

Multipliez $e^{\frac{1}{x}}$ par $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} + C$