Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt[3]{t}}{t - 9}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{t}$ comme $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{3}}}{t - 9}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ et $g (t) = t - 9$ .

$\frac{(t - 9) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}] - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{(t - 9) \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3} - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 8.3

Placez $t^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 9$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9])}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d t} [- 9])}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 11

Comme $- 9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} (1 + 0)}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 12.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

Associez $t$ et $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.1.2

Placez $t^{\frac{2}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{t \cdot t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.1.3

Multipliez $t$ par $t^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.2.1.3.1

Multipliez $t$ par $t^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 13.2.1.3.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{t^{1} t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{t^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.1.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{t^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{t^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.1.3.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.1.5

Associez $- 3$ et $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 3}{t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.2

Pour écrire $- t^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - t^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.3

Associez $- t^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.5.1.1

Factorisez $t^{\frac{1}{3}}$ à partir de $t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{1}{3}} \cdot 3$ .

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Étape 13.2.5.1.1.1

Déplacez $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 3 t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.5.1.1.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - 1 \cdot 3 t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.5.1.1.3

Factorisez $t^{\frac{1}{3}}$ à partir de $- 1 \cdot 3 t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 3)}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.5.1.1.4

Factorisez $t^{\frac{1}{3}}$ à partir de $t^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} (1 - 1 \cdot 3)}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} (1 - 3)}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.5.1.3

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} \cdot - 2}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.5.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{- 2 \cdot t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

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Étape 13.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}) - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}) - (\frac{3}{t^{\frac{2}{3}}})}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}) - (\frac{3}{t^{\frac{2}{3}}})$ .

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}})}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.3.2

Pour écrire $\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}})}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.3.3

Pour écrire $\frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3})}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 t^{\frac{2}{3}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 13.3.4.1

Multipliez $\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}$ par $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{3 t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3})}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.3.4.2

Multipliez $\frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{3 t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 \cdot 3}{t^{\frac{2}{3}} \cdot 3})}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.3.4.3

Réorganisez les facteurs de $t^{\frac{2}{3}} \cdot 3$ .

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{3 t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}})}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.6.1

Multipliez $t^{\frac{1}{3}}$ par $t^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.3.6.1.1

Déplacez $t^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- \frac{2 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}}) + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.3.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.3.6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{2 + 1}{3}} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.3.6.1.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{3}{3}} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.3.6.1.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{- \frac{2 t^{1} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.3.6.2

Simplifiez $2 t^{1}$ .

$\frac{- \frac{2 t + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.3.6.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{- \frac{2 t + 9}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{2 t + 9}{3 t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(t - 9)}^{2}}$

Étape 13.5

Multipliez $\frac{1}{{(t - 9)}^{2}}$ par $\frac{2 t + 9}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{2 t + 9}{{(t - 9)}^{2} (3 t^{\frac{2}{3}})}$

Étape 13.6

Déplacez $3$ à gauche de ${(t - 9)}^{2}$ .

$- \frac{2 t + 9}{3 \cdot {(t - 9)}^{2} t^{\frac{2}{3}}}$

Étape 13.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{2 t + 9}{3 {(t - 9)}^{2} t^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{2 t + 9}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 9)}^{2}}$