Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{4}^{7} \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1} d t$

Étape 1

Laissez $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$ comme $\frac{d}{d t} [2 t + 1]$ .

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Étape 1.1.2.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.2.1.1

Réécrivez $4 t^{2}$ comme ${(2 t)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1}]$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1^{2}}]$

Étape 1.1.2.1.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 t = 2 \cdot (2 t) \cdot 1$

Étape 1.1.2.1.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 2 \cdot (2 t) \cdot 1 + 1^{2}}]$

Étape 1.1.2.1.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 2 t$ et $b = 1$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t + 1)}^{2}}]$

Étape 1.1.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Étape 1.1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 1.1.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 1.1.7

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 1.1.8

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$u_{lower} = \sqrt{4 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $4$ par $4^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $4$ par $4^{2}$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{1} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Étape 1.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u_{lower} = \sqrt{4^{1 + 2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Étape 1.3.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{3} + 4 \cdot 4 + 1}$

Étape 1.3.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 4 \cdot 4 + 1}$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 16 + 1}$

Étape 1.3.4

Additionnez $64$ et $16$ .

$u_{lower} = \sqrt{80 + 1}$

Étape 1.3.5

Additionnez $80$ et $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{81}$

Étape 1.3.6

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{9^{2}}$

Étape 1.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{lower} = 9$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7 + 1}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 1}$

Étape 1.5.2

Multipliez $4$ par $49$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 4 \cdot 7 + 1}$

Étape 1.5.3

Multipliez $4$ par $7$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 28 + 1}$

Étape 1.5.4

Additionnez $196$ et $28$ .

$u_{upper} = \sqrt{224 + 1}$

Étape 1.5.5

Additionnez $224$ et $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{225}$

Étape 1.5.6

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{15^{2}}$

Étape 1.5.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{upper} = 15$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 15$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{9}^{15} u \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $u$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{9}^{15} \frac{u}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{9}^{15} u d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{9}^{15}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{1}{2} u^{2}$ sur $15$ et sur $9$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 15^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 225 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $225$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Étape 5.2.3

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 81)$

Étape 5.2.4

Multipliez $81$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - 81 (\frac{1}{2}))$

Étape 5.2.5

Associez $- 81$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} + \frac{- 81}{2})$

Étape 5.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{81}{2})$

Étape 5.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{225 - 81}{2}$

Étape 5.2.8

Soustrayez $81$ de $225$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{144}{2}$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun à $144$ et $2$ .

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Étape 5.2.9.1

Factorisez $2$ à partir de $144$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2}$

Étape 5.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

Étape 5.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{72}{1}$

Étape 5.2.9.2.4

Divisez $72$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 72$

Étape 5.2.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $72$ .

$\frac{72}{2}$

Étape 5.2.11

Annulez le facteur commun à $72$ et $2$ .

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Étape 5.2.11.1

Factorisez $2$ à partir de $72$ .

$\frac{2 \cdot 36}{2}$

Étape 5.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 36}{2 (1)}$

Étape 5.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{36}{1}$

Étape 5.2.11.2.4

Divisez $36$ par $1$ .

$36$

Étape 6