Calcul infinitésimal Exemples

$\int 4 \cos^{3} (x) d x$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \cos^{3} (x) d x$

Étape 2

Factorisez $\cos^{2} (x)$ .

$4 \int \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (x)$ comme $1 - \sin^{2} (x)$ .

$4 \int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Étape 4

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 \int 1 - u^{2} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$4 (\int d u + \int - u^{2} d u)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$4 (u + C + \int - u^{2} d u)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (u + C - \int u^{2} d u)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$4 (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Étape 9

Simplifiez

$4 (u - \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$4 (\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x)) + C$