Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} (2 - t) \sqrt{t} d t$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{2} (2 - t) t^{\frac{1}{2}} d t$

Étape 2

Développez $(2 - t) t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Étape 2.2

Factorisez le signe négatif.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) d t$

Étape 2.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) d t$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

Étape 2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

Étape 2.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} 2 t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{2} t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 6

Associez $\frac{2}{3}$ et $t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}]_{0}^{2})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{2})$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $2$ et sur $0$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{2})$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ sur $2$ et sur $0$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 9.2.3.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$2 (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.1.4

Additionnez $2$ et $3$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.6

Multipliez $2$ par $0$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.7

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.7.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - 0) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0) - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.9

Additionnez $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ et $0$ .

$2 \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.10

Associez $2$ et $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.11

Multipliez $2$ par $2^{\frac{5}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.3.11.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 9.2.3.11.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.11.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.11.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.11.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.11.4

Additionnez $2$ et $5$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.12

Multipliez $2$ par $2^{\frac{5}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.3.12.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 9.2.3.12.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.12.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.12.4

Additionnez $2$ et $5$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.13

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.14

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Étape 9.2.3.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.15.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Étape 9.2.3.15.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{5}}{5})$

Étape 9.2.3.16

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0}{5})$

Étape 9.2.3.17

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{0}{5})$

Étape 9.2.3.18

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 9.2.3.18.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Étape 9.2.3.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.18.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Étape 9.2.3.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Étape 9.2.3.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - \frac{0}{1})$

Étape 9.2.3.18.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} - 0)$

Étape 9.2.3.19

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} + 0)$

Étape 9.2.3.20

Additionnez $\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$ et $0$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$

Étape 9.2.3.21

Pour écrire $\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$

Étape 9.2.3.22

Pour écrire $- \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.2.3.23

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.2.3.23.1

Multipliez $\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.2.3.23.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.2.3.23.3

Multipliez $\frac{2^{\frac{7}{2}}}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}$

Étape 9.2.3.23.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{15}$

Étape 9.2.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{7}{2}} \cdot 5 - 2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{15}$

Étape 9.2.3.25

Déplacez $5$ à gauche de $2^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{5 \cdot 2^{\frac{7}{2}} - 2^{\frac{7}{2}} \cdot 3}{15}$

Étape 9.2.3.26

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{5 \cdot 2^{\frac{7}{2}} - 3 \cdot 2^{\frac{7}{2}}}{15}$

Étape 9.2.3.27

Soustrayez $3 \cdot 2^{\frac{7}{2}}$ de $5 \cdot 2^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{7}{2}}}{15}$

Étape 9.2.3.28

Multipliez $2$ par $2^{\frac{7}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.3.28.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{7}{2}}$ .

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Étape 9.2.3.28.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{7}{2}}}{15}$

Étape 9.2.3.28.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{1 + \frac{7}{2}}}{15}$

Étape 9.2.3.28.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{7}{2}}}{15}$

Étape 9.2.3.28.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{2 + 7}{2}}}{15}$

Étape 9.2.3.28.4

Additionnez $2$ et $7$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}}}{15}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2^{\frac{9}{2}}}{15}$

Forme décimale :

$1.50849446 \dots$

Étape 11