Calcul infinitésimal Exemples

$\int 5 x e^{- 4 x} d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int x e^{- 4 x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 4 x}$ .

$5 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Étape 3

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Étape 3.1

Associez $e^{- 4 x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$5 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Étape 3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Étape 3.3

Associez $e^{- 4 x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Étape 5

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Étape 5.2

Multipliez $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ par $1$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Étape 6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Étape 7

Laissez $u = - 4 x$ . Alors $d u = - 4 d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = - 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 7.1.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

Étape 8

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

Étape 8.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

Étape 10

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Étape 11

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Étape 11.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Étape 12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Étape 13

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Étape 13.1

Réécrivez $5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ comme $5 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$5 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Étape 13.2

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Étape 13.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Étape 13.2.2

Associez $e^{- 4 x}$ et $\frac{x}{4}$ .

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Étape 13.2.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{16}$ .

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 4 x$ .

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 (- \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x}) + C$