Calcul infinitésimal Exemples

$\int 5 x \cos (6 x) d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int x \cos (6 x) d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (6 x)$ .

$5 (x (\frac{1}{6} \sin (6 x)) - \int \frac{1}{6} \sin (6 x) d x)$

Étape 3

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $\sin (6 x)$ .

$5 (x \frac{\sin (6 x)}{6} - \int \frac{1}{6} \sin (6 x) d x)$

Étape 3.2

Associez $x$ et $\frac{\sin (6 x)}{6}$ .

$5 (\frac{x \sin (6 x)}{6} - \int \frac{1}{6} \sin (6 x) d x)$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{6}$ et $\sin (6 x)$ .

$5 (\frac{x \sin (6 x)}{6} - \int \frac{\sin (6 x)}{6} d x)$

Étape 4

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{x \sin (6 x)}{6} - (\frac{1}{6} \int \sin (6 x) d x))$

Étape 5

Laissez $u = 6 x$ . Alors $d u = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 6 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 5.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$5 (\frac{x \sin (6 x)}{6} - \frac{1}{6} \int \sin (u) \frac{1}{6} d u)$

Étape 6

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{6}$ .

$5 (\frac{x \sin (6 x)}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{\sin (u)}{6} d u)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{x \sin (6 x)}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u))$

Étape 8

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{6}$ .

$5 (\frac{x \sin (6 x)}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int \sin (u) d u)$

Étape 8.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$5 (\frac{x \sin (6 x)}{6} - \frac{1}{36} \int \sin (u) d u)$

Étape 9

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$5 (\frac{x \sin (6 x)}{6} - \frac{1}{36} (- \cos (u) + C))$

Étape 10

Réécrivez $5 (\frac{x \sin (6 x)}{6} - \frac{1}{36} (- \cos (u) + C))$ comme $5 (\frac{x \sin (6 x)}{6} + \frac{\cos (u)}{36}) + C$ .

$5 (\frac{x \sin (6 x)}{6} + \frac{\cos (u)}{36}) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$5 (\frac{x \sin (6 x)}{6} + \frac{\cos (6 x)}{36}) + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 (\frac{1}{6} x \sin (6 x) + \frac{1}{36} \cos (6 x)) + C$