Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 8}^{0} x e^{- 4 x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 4 x}$ .

$x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $e^{- 4 x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$x (- \frac{e^{- 4 x}}{4})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - (- \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + 1 (\frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x$

Étape 5

Laissez $u = - 4 x$ . Alors $d u = - 4 d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = - 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 5.1.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - 4 x$ .

$u_{lower} = - 4 \cdot - 8$

Étape 5.3

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$u_{lower} = 32$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - 4 x$ .

$u_{upper} = - 4 \cdot 0$

Étape 5.5

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 32$

$u_{upper} = 0$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Étape 6.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} - \frac{e^{u}}{4} d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- \int_{32}^{0} \frac{e^{u}}{4} d u)$

Étape 8

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} d u))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

Étape 9.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $- \frac{x e^{- 4 x}}{4}$ sur $0$ et sur $- 8$ .

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

Étape 11.2

Évaluez $e^{u}$ sur $0$ et sur $32$ .

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$- \frac{0 e^{0}}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{0 \cdot 1}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$- \frac{0}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 11.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$- \frac{4 (0)}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{0}{1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3.6

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$0 + \frac{- 8 e^{32}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3.7

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $4$ .

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Étape 11.3.7.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8 e^{32}$ .

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 (1)} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 \cdot 1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{- 2 e^{32}}{1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3.7.2.4

Divisez $- 2 e^{32}$ par $1$ .

$0 - 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3.8

Soustrayez $2 e^{32}$ de $0$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Étape 11.3.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} (1 - e^{32})$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} \cdot 1 - \frac{1}{16} (- e^{32})$

Étape 12.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} - \frac{1}{16} (- e^{32})$

Étape 12.1.3

Multipliez $- \frac{1}{16} (- e^{32})$ .

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Étape 12.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + 1 (\frac{1}{16}) e^{32}$

Étape 12.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} e^{32}$

Étape 12.1.3.3

Associez $\frac{1}{16}$ et $e^{32}$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{e^{32}}{16}$

Étape 12.2

Pour écrire $- 2 e^{32}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$- 2 e^{32} \cdot \frac{16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Étape 12.3

Associez $- 2 e^{32}$ et $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Étape 12.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Étape 12.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32} - 1}{16}$

Étape 12.6

Multipliez $16$ par $- 2$ .

$\frac{- 32 e^{32} + e^{32} - 1}{16}$

Étape 12.7

Additionnez $- 32 e^{32}$ et $e^{32}$ .

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

Forme décimale :

$- 152990735353944$

Étape 14