Calcul infinitésimal Exemples

$\int 24 t^{7} e^{- t^{8}} d t$

Étape 1

Comme $24$ est constant par rapport à $t$ , placez $24$ en dehors de l’intégrale.

$24 \int t^{7} e^{- t^{8}} d t$

Étape 2

Laissez $u_{1} = t^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 t d t$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = t^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 t$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$24 \int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ comme ${u_{1}}^{3}$ .

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Étape 3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$24 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$24 \int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.2

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ comme ${u_{1}}^{4}$ .

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Étape 3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $8$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.2.4.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et ${u_{1}}^{3}$ .

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 3.4

Associez $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ et $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$24 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $24$ .

$\frac{24}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $24$ et $2$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2 (1)} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 5.2.2.4

Divisez $12$ par $1$ .

$12 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Étape 6.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ comme ${u_{2}}^{2}$ .

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Étape 7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{2}}$ comme ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 7.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 7.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 7.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 7.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 7.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 7.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 7.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $u_{2}$ .

$12 \int \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 7.3

Associez $\frac{u_{2}}{2}$ et $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$12 \int \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$12 (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $12$ .

$\frac{12}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 9.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 9.2.2.4

Divisez $6$ par $1$ .

$6 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 10

Laissez $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Alors $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

Étape 10.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $- {u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$6 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Étape 11.2

Associez $e^{u_{3}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$6 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$6 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

Étape 13

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Étape 14

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- 6 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 6$ .

$\frac{- 6}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 15.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 15.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 15.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 15.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$- 3 \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 16

L’intégrale de $e^{u_{3}}$ par rapport à $u_{3}$ est $e^{u_{3}}$ .

$- 3 (e^{u_{3}} + C)$

Étape 17

Simplifiez

$- 3 e^{u_{3}} + C$

Étape 18

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $- {u_{2}}^{2}$ .

$- 3 e^{- {u_{2}}^{2}} + C$

Étape 18.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${u_{1}}^{2}$ .

$- 3 e^{- {({u_{1}}^{2})}^{2}} + C$

Étape 18.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $t^{2}$ .

$- 3 e^{- {({(t^{2})}^{2})}^{2}} + C$